2014-03-15
先从Kmeans说起。
Kmeans是一个非常基础的聚类算法，使用了迭代的思想，关于其原理这里不说了，请见资料[1]和[2]。下面说一下如何在matlab中使用kmeans算法。
创建7个二维的数据点：
x=[randn(3,2)*.4;randn(4,2)*.5+ones(4,1)*[4 4]];
使用kmeans函数：
class = kmeans(x, 2);
x是数据点，x的每一行代表一个数据；2指定要有2个中心点，也就是聚类结果要有2个簇。 class将是一个具有7个元素的列向量，这些元素依次对应7个数据点，元素值代表着其对应的数据点所处的分类号。某次运行后，class的值是：
2
2
2
1
1
1
1
这说明x的前三个数据点属于簇2，而后四个数据点属于簇1。 kmeans函数也可以像下面这样使用：
>> [class, C, sumd, D] = kmeans(x, 2)
class =
2
2
2
1
1
1
1
C =
4.0629 4.0845
-0.1341 0.1201
sumd =
1.2017
0.2939
D =
34.3727 0.0184
29.5644 0.1858
36.3511 0.0898
0.1247 37.4801
0.7537 24.0659
0.1979 36.7666
0.1256 36.2149
class依旧代表着每个数据点的分类;C包含最终的中心点，一行代表一个中心点；sumd代表着每个中心点与所属簇内各个数据点的距离之和；D的每一行也对应一个数据点，行中的数值依次是该数据点与各个中心点之间的距离，Kmeans默认使用的距离是欧几里得距离（参考资料[3]）的平方值。kmeans函数使用的距离，也可以是曼哈顿距离（L1-距离），以及其他类型的距离，可以通过添加参数指定，具体见资料[4]。
kmeans有几个缺点（这在很多资料上都有说明）：
1、最终簇的类别数目（即中心点或者说种子点的数目）k并不一定能事先知道，所以如何选一个合适的k的值是一个问题。
2、最开始的种子点的选择的好坏会影响到聚类结果。
3、对噪声和离群点敏感。
4、等等。
kmeans++算法的基本思路
kmeans++算法的主要工作体现在种子点的选择上，基本原则是使得各个种子点之间的距离尽可能的大，但是又得排除噪声的影响。 以下为基本思路，摘自资料[5]：
1、从输入的数据点集合（要求有k个聚类）中随机选择一个点作为第一个聚类中心
2、对于数据集中的每一个点x，计算它与最近聚类中心(指已选择的聚类中心)的距离D(x)
3、选择一个新的数据点作为新的聚类中心，选择的原则是：D(x)较大的点，被选取作为聚类中心的概率较大
4、重复2和3直到k个聚类中心被选出来
5、利用这k个初始的聚类中心来运行标准的k-means算法
假定数据点集合X有n个数据点，依次用X(1)、X(2)、……、X(n)表示，那么，在第2步中依次计算每个数据点与最近的种子点（聚类中心）的距离，依次得到D(1)、D(2)、……、D(n)构成的集合D。在D中，为了避免噪声，不能直接选取值最大的元素，应该选择值较大的元素，然后将其对应的数据点作为种子点。
如何选择值较大的元素呢，下面是一种思路（暂未找到最初的来源，在资料[2]等地方均有提及，笔者换了一种让自己更好理解的说法）： 把集合D中的每个元素D(x)想象为一根线L(x)，线的长度就是元素的值。将这些线依次按照L(1)、L(2)、……、L(n)的顺序连接起来，组成长线L。L(1)、L(2)、……、L(n)称为L的子线。根据概率的相关知识，如果我们在L上随机选择一个点，那么这个点所在的子线很有可能是比较长的子线，而这个子线对应的数据点就可以作为种子点。下文中kmeans++的两种实现均是这个原理。
python版本的kmeans++
在资料[7]中能找到多种编程语言版本的Kmeans++实现。下面的内容是基于python的实现（中文注释是笔者添加的）：
from math import pi, sin, cos
from collections import namedtuple
from random import random, choice
from copy import copy
try:
import psyco
psyco.full()
except ImportError:
pass
FLOAT_MAX = 1e100
class Point:
__slots__ = ["x", "y", "group"]
def __init__(self, x=0.0, y=0.0, group=0):
self.x, self.y, self.group = x, y, group
def generate_points(npoints, radius):
points = [Point() for _ in xrange(npoints)]
# note: this is not a uniform 2-d distribution
for p in points:
r = random() * radius
ang = random() * 2 * pi
p.x = r * cos(ang)
p.y = r * sin(ang)
return points
def nearest_cluster_center(point, cluster_centers):
"""Distance and index of the closest cluster center"""
def sqr_distance_2D(a, b):
return (a.x - b.x) ** 2 + (a.y - b.y) ** 2
min_index = point.group
min_dist = FLOAT_MAX
for i, cc in enumerate(cluster_centers):
d = sqr_distance_2D(cc, point)
if min_dist > d:
min_dist = d
min_index = i
return (min_index, min_dist)
'''
points是数据点，nclusters是给定的簇类数目
cluster_centers包含初始化的nclusters个中心点，开始都是对象->(0,0,0)
'''
def kpp(points, cluster_centers):
cluster_centers[0] = copy(choice(points)) #随机选取第一个中心点
d = [0.0 for _ in xrange(len(points))] #列表，长度为len(points)，保存每个点离最近的中心点的距离
for i in xrange(1, len(cluster_centers)): # i=1...len(c_c)-1
sum = 0
for j, p in enumerate(points):
d[j] = nearest_cluster_center(p, cluster_centers[:i])[1] #第j个数据点p与各个中心点距离的最小值
sum += d[j]
sum *= random()
for j, di in enumerate(d):
sum -= di
if sum > 0:
continue
cluster_centers[i] = copy(points[j])
break
for p in points:
p.group = nearest_cluster_center(p, cluster_centers)[0]
'''
points是数据点，nclusters是给定的簇类数目
'''
def lloyd(points, nclusters):
cluster_centers = [Point() for _ in xrange(nclusters)] #根据指定的中心点个数，初始化中心点，均为(0,0,0)
# call k++ init
kpp(points, cluster_centers) #选择初始种子点
# 下面是kmeans
lenpts10 = len(points) >> 10
changed = 0
while True:
# group element for centroids are used as counters
for cc in cluster_centers:
cc.x = 0
cc.y = 0
cc.group = 0
for p in points:
cluster_centers[p.group].group += 1 #与该种子点在同一簇的数据点的个数
cluster_centers[p.group].x += p.x
cluster_centers[p.group].y += p.y
for cc in cluster_centers: #生成新的中心点
cc.x /= cc.group
cc.y /= cc.group
# find closest centroid of each PointPtr
changed = 0 #记录所属簇发生变化的数据点的个数
for p in points:
min_i = nearest_cluster_center(p, cluster_centers)[0]
if min_i != p.group:
changed += 1
p.group = min_i
# stop when 99.9% of points are good
if changed <= lenpts10:
break
for i, cc in enumerate(cluster_centers):
cc.group = i
return cluster_centers
def print_eps(points, cluster_centers, W=400, H=400):
Color = namedtuple("Color", "r g b");
colors = []
for i in xrange(len(cluster_centers)):
colors.append(Color((3 * (i + 1) % 11) / 11.0,
(7 * i % 11) / 11.0,
(9 * i % 11) / 11.0))
max_x = max_y = -FLOAT_MAX
min_x = min_y = FLOAT_MAX
for p in points:
if max_x < p.x: max_x = p.x
if min_x > p.x: min_x = p.x
if max_y < p.y: max_y = p.y
if min_y > p.y: min_y = p.y
scale = min(W / (max_x - min_x),
H / (max_y - min_y))
cx = (max_x + min_x) / 2
cy = (max_y + min_y) / 2
print "%%!PS-Adobe-3.0\n%%%%BoundingBox: -5 -5 %d %d" % (W + 10, H + 10)
print ("/l {rlineto} def /m {rmoveto} def\n" +
"/c { .25 sub exch .25 sub exch .5 0 360 arc fill } def\n" +
"/s { moveto -2 0 m 2 2 l 2 -2 l -2 -2 l closepath " +
" gsave 1 setgray fill grestore gsave 3 setlinewidth" +
" 1 setgray stroke grestore 0 setgray stroke }def")
for i, cc in enumerate(cluster_centers):
print ("%g %g %g setrgbcolor" %
(colors[i].r, colors[i].g, colors[i].b))
for p in points:
if p.group != i:
continue
print ("%.3f %.3f c" % ((p.x - cx) * scale + W / 2,
(p.y - cy) * scale + H / 2))
print ("\n0 setgray %g %g s" % ((cc.x - cx) * scale + W / 2,
(cc.y - cy) * scale + H / 2))
print "\n%%%%EOF"
def main():
npoints = 30000
k = 7 # # clusters
points = generate_points(npoints, 10)
cluster_centers = lloyd(points, k)
print_eps(points, cluster_centers)
main()
上述代码实现的算法是针对二维数据的，所以Point对象有三个属性，分别是在x轴上的值、在y轴上的值、以及所属的簇的标识。函数lloyd是kmeans++算法的整体实现，其先是通过kpp函数选取合适的种子点，然后对数据集实行kmeans算法进行聚类。kpp函数的实现完全符合上述kmeans++的基本思路的2、3、4步。
matlab版本的kmeans++
请在资料[8]对应的网站中下载kmeans.m，更名为kmeanspp.m，文件内的函数名更改为kmeanspp。kmeanspp.m代码相当精炼，内容如下（去掉了部分注释，中文注释是笔者添加的）：
function [L,C] = kmeanspp(X,k)
%KMEANS Cluster multivariate data using the k-means++ algorithm.
% [L,C] = kmeans_pp(X,k) produces a 1-by-size(X,2) vector L with one class
% label per column in X and a size(X,1)-by-k matrix C containing the
% centers corresponding to each class.
% Version: 2013-02-08
% Authors: Laurent Sorber (Laurent.Sorber@cs.kuleuven.be)
L = [];
L1 = 0;
while length(unique(L)) ~= k
% The k-means++ initialization.
C = X(:,1+round(rand*(size(X,2)-1))); %size(X,2)是数据集合X的数据点的数目，C是中心点的集合
L = ones(1,size(X,2));
for i = 2:k
D = X-C(:,L); %-1
D = cumsum(sqrt(dot(D,D,1))); %将每个数据点与中心点的距离，依次累加
if D(end) == 0, C(:,i:k) = X(:,ones(1,k-i+1)); return; end
C(:,i) = X(:,find(rand < D/D(end),1)); %find的第二个参数表示返回的索引的数目
[~,L] = max(bsxfun(@minus,2*real(C'*X),dot(C,C,1).')); %碉堡了，这句，将每个数据点进行分类。
end
% The k-means algorithm.
while any(L ~= L1)
L1 = L;
for i = 1:k, l = L==i; C(:,i) = sum(X(:,l),2)/sum(l); end
[~,L] = max(bsxfun(@minus,2*real(C'*X),dot(C,C,1).'),[],1);
end
end
这个函数的实现有些特殊，参数X是数据集，但是是将每一列看做一个数据点，参数k是指定的聚类数。返回值L标记了每个数据点的所属分类，返回值C保存了最终形成的中心点（一列代表一个中心点）。测试一下：
>> x=[randn(3,2)*.4;randn(4,2)*.5+ones(4,1)*[4 4]]
x =
-0.0497 0.5669
0.5959 0.2686
0.5636 -0.4830
4.3586 4.3634
4.8151 3.8483
4.2444 4.1469
4.5173 3.6064
>> [L, C] = kmeanspp(x',2)
L =
2 2 2 1 1 1 1
C =
4.4839 0.3699
3.9913 0.1175
好了，现在开始一点点理解这个实现，顺便巩固一下matlab知识。
unique函数用来获取一个矩阵中的不同的值，示例：
>> unique([1 3 3 4 4 5])
ans =
1 3 4 5
>> unique([1 3 3 ; 4 4 5])
ans =
1
3
4
5
所以循环 while length(unique(L)) ~= k 以得到了k个聚类为结束条件，不过一般情况下，这个循环一次就结束了，因为重点在这个循环中。
rand是返回在(0,1)这个区间的一个随机数。在注释%-1所在行，C被扩充了，被扩充的方法类似于下面：
>> C =[];
>> C(1,1) = 1
C =
1
>> C(2,1) = 2
C =
1
2
>> C(:,[1 1 1 1])
ans =
1 1 1 1
2 2 2 2
>> C(:,[1 1 1 1 2])
Index exceeds matrix dimensions.
C中第二个参数的元素1，其实是代表C的第一列数据，之所以在值2时候出现Index exceeds matrix dimensions.的错误，是因为C本身没有第二列。如果C有第二列了：
>> C(2,2) = 3;
>> C(2,2) = 4;
>> C(:,[1 1 1 1 2])
ans =
1 1 1 1 3
2 2 2 2 4
dot函数是将两个矩阵点乘，然后把结果在某一维度相加：
>> TT = [1 2 3 ; 4 5 6];
>> dot(TT,TT)
ans =
17 29 45
>> dot(TT,TT,1 )
ans =
17 29 45
`cumsum`是累加函数：
>> cumsum([1 2 3])
ans =
1 3 6
>> cumsum([1 2 3; 4 5 6])
ans =
1 2 3
5 7 9
max函数可以返回两个值，第二个代表的是max数的索引位置：
>> [~, L] = max([1 2 3])
L =
3
>> [~,L] = max([1 2 3;2 3 4])
L =
2 2 2
其中~是占位符。
关于bsxfun函数，官方文档指出：
C = bsxfun(fun,A,B) applies the element-by-element binary operation specified by the function handle fun to arrays A and B, with singleton expansion enabled其中参数`fun`是函数句柄，关于函数句柄见资料[9]。下面是bsxfun的一个示例：
>> A= [1 2 3;2 3 4]
A =
1 2 3
2 3 4
>> B=[6;7]
B =
6
7
>> bsxfun(@minus,A,B)
ans =
-5 -4 -3
-5 -4 -3
对于：
[~,L] = max(bsxfun(@minus,2*real(C'*X),dot(C,C,1).'));
max的参数是这样一个矩阵，矩阵有n列，n也是数据点的个数，每一列代表着对应的数据点与各个中心点之间的距离的相反数。不过这个距离有些与众不同，算是欧几里得距离的变形。
假定数据点是2维的，某个数据点为(x1,y1)，某个中心点为(c1,d1)，那么通过bsxfun(@minus,2*real(C'*X),dot(C,C,1).')的计算，数据点与中心点的距离为2*c1*x1 + 2*d1*y1 -c1.^2 - c2.^2，可以变换为x1.^2 + y1.^2 - (c1-x1).^2 - (d1-y1).^2。对于每一列而言，由于是数据点与各个中心点之间的计算，所以可以忽略x1.^2 + y1.^2，最终计算结果是欧几里得距离的平方的相反数。这也说明了使用max的合理性，因为一个数据点的所属簇取决于与其距离最近的中心点，若将距离取相反数，则应该是值最大的那个点。
资料
[1] k-means clustering：http://en.wikipedia.org/wiki/K-means_clustering
[2] K-Means算法 http://coolshell.cn/articles/7779.html
[3] 欧几里得度量 http://zh.wikipedia.org/wiki/欧几里得度量
[4] kmeans http://www.mathworks.cn/cn/help/stats/kmeans.html
[5] K-Means++算法 http://www.cnblogs.com/shelocks/archive/2012/12/20/2826787.html
[6] K-means++ http://en.wikipedia.org/wiki/K-means%2B%2B
[7] K-means++ clustering http://rosettacode.org/wiki/K-means%2B%2B_clustering
[8] k-means++的matlab实现 http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/28804-k-means++
[9] MATLAB函数句柄 http://www.cnblogs.com/begtostudy/archive/2012/06/27/2565920.html